复数
在交流电理论和机械矢量分析中使用复数。
复数有两种主要形式
- 笛卡儿
- 极地
笛卡尔形式的复数
复数由实部和虚部组成，可以用笛卡尔的形式表示为
Z = a + j b (1)
在哪里
Z =复数
实部
J b =虚部(通常用I代替J)
一个复数可以用一个实轴和一个虚轴的笛卡尔轴图表示根图:
例子-笛卡尔形式的复数
复数
Z一个= 3 + j 2 (2a)
ZB= -3 + j 3 (2b)
ZC= -2 - j 2 (2c)
可以用阿根图表示:
复数的加减法
复数的加法/减法是分别加/减数的实部和虚部。
示例-两个复数相加
Z一个= 3 + j
ZB= -3 + j
Z(A + B)= (3 + (-3)) + (j 2 + j 3)
＝j 5
极坐标形式的复数
极坐标形式上的复数可以表示为
Z = r (cosθ + jsin θ) (3)
在哪里
r =模量(或Z的大小)，并被写成“mod Z”或|Z|
θ＝论点(或振幅)的Z -并且被写成“arg Z”
r可以用毕达哥拉斯定理确定
R = (a)2+ b2）1／2（4）
θ可以用三角学确定吗
θ = tan－1(b / a) (5)
（3）也可以表示为
Z = r ejθ(6）
由式(1)、(3)、(6)可知，复数有三种写法。
例子-极坐标形式的复数
复数
Z一个= 3 + j
通过计算模量和参数，可以用极坐标形式表示。
“模数”可以用eq来计算。（4）：
R = (3)2+ 22）1／2
＝3.606
“参数”可以用eq来计算。（5）：
θ = tan－1(2 / 3)
＝33.69o
极坐标形式(3)上的复数:
Z一个= 3.606 (cos(33.69) + jsin (33.69))
或者(6)
Z一个= 3.606j 33.69
复数的加减法
复数加法
Z一个= a + j
Zb= c + j
Z一个+ Zb＝(a + j b)(c + j d)
= (a + c) + j(b + d) (6)
或替代
Z一个＝r一个(cosθ一个+ jsinθ一个）
Zb＝rb(cosθb+ jsinθb）
Z一个+ Zb＝r一个(cosθ一个+ jsinθ一个）+rb(cosθb+ jsinθb）
＝（r一个cosθ一个+rbcosθb) +j (r一个罪θ一个+rb罪θb）(6 b)
或者
Z一个＝r一个ejθ
Zb＝rbeb jθ
Z一个+ Zb＝r一个ejθ+rbeb jθ
＝（r一个cosθ一个+rbcosθb) +j (r一个罪θ一个+rb罪θb）(6)
示例—添加复数
Z一个= 3 + j
Zb= 5 - j
Z一个+ Zb= (3 + j 2)+ (5 - j 4)
= (3 + 5) + j(2 + (-4))
＝8 - j 2
示例—添加复数
Z一个＝3 (cos35 + jsin35)
Zb= 2(cos15 + jsin15)
Z一个+ Zb＝（3cos35 + 2Cos 15 +j (3罪35+ 2罪15）
＝4.38 - j 2.2 .
减去复数
Z一个＝A + j b
Zb＝C + j d
Z一个- - - - - - Zb= (a + j b) -(c + j d)
= (a - c) + j(b - d) (7)
示例-复数减法
Z一个＝3 (cos35 + jsin35)
Zb= 2(cos15 + jsin15)
Z一个-Zb＝3 (cos35 + jsin35)- 2(cos15 + jsin15)
= (3cos35 -2Cos 15 + j (3sin35-2罪15）
＝0.52 + j 1.2
复数的乘法
Z一个＝A + j b
Zb＝C + j d
Z一个Zb= (a + j b)(c + j d)
= a c + a (j d) + (j b) c + (j b) (j d)
= a c + j a d + j b c + j2B d (8)
自j2= 1-（8）可以转化为
Z一个Zb＝(a + j b)(c + j d)
= (a c - b d) + j (a d + b c) (8b)
示例-复数相乘
Z一个＝3 + j 2
Zb＝5 - j 4
Z一个Zb＝(3 + j 2)(5 - j4)
= (3 5 - 2 (-4) + j(3 (-4) + 2 5)
＝23 - j 2
复共轭
的复共轭(a + jb)是(a - jb)．
一个复数与它的复共轭相乘得到一个实数
Z一个＝A + jb
Z一个＊＝A - jb
Z一个Z一个＊＝(a + jb)(a - jb)
=一个2- j a b + j a b - j2b2
＝一个2- (b)2）
＝一个2+ b2（9)
示例-复数与共轭数相乘
Z一个＝3 + j 2
Z一个＊＝3 - j 2
Z一个Z一个＊＝(3 + j 2)(3 - j 2)
= 32+ 22
＝13.
复数的除法
复数的除法可以借助分母共轭来完成:
Z一个＝A + jb
Zb＝C + j d
Z一个/Zb＝(a + j b) /(c + j d)
= ((a + j b) /(c + j d)(c - j d) /(c - j d)）
= a c + j a d + j b c + j2d) / (c)2+ d2) (10)
分母和分母同时乘以分母的共轭，叫做合理化．